Rezonanční měřič kapacit

K čemu to je

Měřič je určený na malé kapacity, od jednotek pikofaradů do několika stovek. Hlavně má posloužit k výběru kondenzátorů pro stavbu krystalového filtru. Kapacitu nepočítá z doby nabíjení, ale z posunu rezonance laděného obvodu: měřený kondenzátor se připojí paralelně k cívce, frekvence klesne a z poklesu se kapacita dopočítá. Frekvenci totiž mikrokontrolér změří velmi přesně.

Zapojení

• Diferenciální oscilátor se dvěma J310. Nepotřebuje vazební vinutí ani kapacitní dělič, takže v obvodu je jen parazitní kapacita přípravku a měřený kondenzátor, obojí paralelně k cívce.
• Cívka na toroidu ze žlutého materiálu Amidon, aby ji co nejméně ovlivňovalo okolí. Středová odbočka slouží jen k napájení, zpětná vazba je křížová přes kondenzátory.
• Oddělovací sledovač odděluje citlivý laděný obvod od měřicí části. Za ním je diodový omezovač amplitudy a odporový dělič, který signál posadí doprostřed napájecího napětí.
• Čítač na Blue Pill STM32F103, podobný jako v čítači pro elektronkové rádio. Frekvence jde na pin PA0 a čítá se hardwarově v časovači s bránou 1 s. Výsledek ukazuje displej 128×160.

Pro SMD součástky má přípravek pevné ploškové kontakty. Všechno, co se k obvodu připojuje, musí být připojené trvale, jinak by ujížděla nula. Před měřením se přístroj vynuluje tlačítkem s prázdným přípravkem.

Kalibrace a etalon

Kalibruje se dvěma body: naprázdno a s jedním přesným kondenzátorem. Indukčnost cívky ani parazitní kapacitu obvodu přitom znát není potřeba, obojí vyplyne z kalibrace (podrobně níže). Přesnost celého přístroje proto závisí jen na toleranci toho jednoho kondenzátoru.

Jako etalon posloužil starý slídový kondenzátor 139 pF ±1 % z burzy v Holicích, kde se součástky prodávaly na kila. Nové SMD kondenzátory s tolerancí 1 % se dají koupit spíš jen po tisícovkách kusů a za hodně peněz.

Zkušební měření

Kondenzátor	Značeno	Naměřeno
—	90 pF ±5 %	91,2 pF
slída	40 pF ±2 %	39,3 pF
keramika	150 pF	154 pF

Všechno sedí v toleranci součástek. Oscilátor občas přestane kmitat, ale znovu se dá rozběhnout.

V krabičce zbylo místo na měřič malých indukčností. Fungoval by podobně: měřená cívka by se zapojila do série s cívkou oscilátoru a indukčnost by se počítala z rozdílu, protože indukčnosti v sérii se sčítají.

Zdrojové kódy, schéma a dokumentace jsou na GitHubu: rezonancni-meric-kapacit.

---

Jak se počítá kalibrace

Rezonanční metoda převádí měření kapacity na měření frekvence, a frekvenci umíme měřit přesněji než kteroukoliv jinou elektrickou veličinu. Proto se pro malé kapacity hodí lépe než nabíjení přes odpor nebo můstek.

Cívka a kondenzátor spolu tvoří laděný obvod, který kmitá na frekvenci

f = 1 / (2π · √(L · C))

Měřený kondenzátor připojíme paralelně. Jeho kapacita se přičte k tomu, co už v obvodu je, celková kapacita vzroste a frekvence klesne. Z poklesu se kapacita dopočítá.

Dvě neznámé, které nejdou změřit

Potíž je v tom, že ve vzorci vystupují dvě veličiny, které neznáme.

Indukčnost cívky L. Na štítku nebývá, běžné multimetry ji neměří, a i kdybychom ji změřili, skutečná indukčnost v zapojení se od katalogové liší vlivem přívodů a okolních součástek.

Parazitní kapacita obvodu C₀. V obvodu není jen to, co jsme tam dali. Svou kapacitu mají vývody, samotná cívka, vstup oddělovače i plošné spoje. Bývá to jednotky pikofaradů, spočítat se to nedá a závisí to na konkrétním provedení.

Skutečný vztah tedy vypadá takhle, kde Cx je měřená kapacita:

f = 1 / (2π · √(L · (C₀ + Cx)))

Jedna rovnice, tři neznámé. Vypadá to na slepou uličku, ale není. Oblíbený postup, změřit indukčnost jinde a dosadit ji, je přitom ta horší cesta: přenáší do výsledku chybu cizího přístroje a parazitní kapacitu stále neřeší. Obě neznámé se dají určit z měření samotných, aniž bychom na cívku sáhli.

Klíčový trik: z křivky přímka

Místo frekvence budeme pracovat s převrácenou druhou mocninou frekvence. Základní vztah umocníme na druhou a převrátíme:

f²    = 1 / (4π² · L · (C₀ + Cx))
1/f²  = 4π² · L · (C₀ + Cx)

Odmocnina zmizela a na pravé straně stojí lineární výraz: kapacita Cx v něm vystupuje v první mocnině, vynásobená konstantou a sečtená s konstantou. Označíme-li A = 1/f², má celý vztah tvar obyčejné přímky:

A = a · Cx + b

kde  a = 4π² · L
     b = 4π² · L · C₀ = a · C₀

Místo nelinearity s odmocninou máme přímku se směrnicí a a posunutím b. A přímku určí dva body. Obě konstanty přitom nesou přesně tu informaci, kterou jsme postrádali:

Konstanta	Co v sobě nese
a (směrnice)	indukčnost cívky, závisí jen na L
b (posunutí)	parazitní kapacitu obvodu, přes vztah b = a · C₀

Tohle rozdělení je důležitější, než se zdá: díky němu jde později nulovat přístroj jedním tlačítkem, aniž by se celá kalibrace musela dělat znovu.

Kalibrace dvěma body

Označme dva kalibrační body C₁, f₁ a C₂, f₂. Obě frekvence převedeme na A a spočítáme směrnici a posunutí:

A₁ = 1/f₁²      A₂ = 1/f₂²

a = (A₁ − A₂) / (C₁ − C₂)
b = A₁ − a · C₁

A to je celá kalibrace: dvě čísla, která se uloží do přístroje. Každé další měření se pak vyřídí jedním řádkem:

Cx = (1/f² − b) / a

Žádná odmocnina, žádná indukčnost, žádná parazitní kapacita. Jen dělení a odčítání, které zvládne i drobný procesor.

Proč stačí jeden kondenzátor

Měření naprázdno je plnohodnotný kalibrační bod, připojená kapacita je přesně nula.

Bod	Co je připojeno	Cx
1	nic, prázdné svorky	0 pF
2	etalon	např. 139 pF

Ten první bod je z obou dokonce lepší, protože nula nemá toleranci. Posunutí vyjde rovnou jako b = A₁. Celá přesnost stupnice tak stojí na jediném kondenzátoru, a proto se vyplatí sehnat jeden pořádný místo pěti přibližných.

Měření naprázdno jde ovšem jen tehdy, když na nejvyšší frekvenci dává oscilátor dost signálu, aby ho čítač spočítal. Pokud ne, vezmou se dva různé známé kondenzátory a oba body se odečtou níž. Výsledek je stejný, jen do něj vstupují tolerance dvou součástek místo jedné. Oba kondenzátory se pak musí výrazně lišit, nejlépe aspoň v poměru tři ku jedné. Při blízkých hodnotách by byl rozdíl v čitateli i jmenovateli malý a chyba měření by se do směrnice promítla mnohonásobně.

Co z kalibrace vypadne zadarmo

Z obou konstant se dá zpětně dopočítat kapacita obvodu naprázdno i indukčnost cívky:

C₀ = b / a
L  = a / (4π² · 10⁻¹²)      (kapacity v pF)

C₀ je kapacita, kterou obvod „má sám od sebe“, ještě než něco připojíme. Obě hodnoty slouží jako kontrola zdravotního stavu kalibrace. Když vyjde indukčnost řádově jinak, než cívka vypadá, nebo kapacita naprázdno záporně či na stovky pikofaradů, něco nesedí. Buď byla špatně odečtená frekvence, nebo má referenční kondenzátor jinou hodnotu, než je na něm napsaná. Proto přístroj obě hodnoty ukazuje v zápatí displeje.

Příklad na skutečných číslech

Takhle vypadal výpočet při kalibraci slídovým kondenzátorem 62 pF ±2 %:

Bod	Kondenzátor	Naměřená frekvence
1	naprázdno, 0 pF	35 586 500 Hz
2	slída 62 pF ±2 %	11 126 136 Hz

A₁ = 1 / 35 586 500² = 7,8964 × 10⁻¹⁶
A₂ = 1 / 11 126 136² = 8,0784 × 10⁻¹⁵

a  = (A₁ − A₂) / (0 − 62) = 1,17556 × 10⁻¹⁶
b  = A₁ = 7,8964 × 10⁻¹⁶

C₀ = b / a = 6,72 pF
L  = a / (4π² · 10⁻¹²) = 2,98 µH

Obě čísla dávají smysl: necelých sedm pikofaradů odpovídá vývodům a vstupu sledovače, tři mikrohenry sedí na cívku pracující na 35 MHz. Kontrolou byla slída 150 pF ±5 %, která se kalibrace neúčastnila. Přístroj ukázal 152,6 pF (+1,7 %), tedy v toleranci, a to na víc než dvojnásobku kalibrační hodnoty.

Poučný omyl: keramika jako etalon

Nejprve byl přístroj kalibrován modrým diskovým keramickým kondenzátorem na 1 kV, značeným 220 pF. Výsledek vypadal věrohodně (C₀ = 8,25 pF, L = 2,43 µH), ale slídový 62 pF pak podle té kalibrace měl 76 pF. Po překalibrování na slídu přístroj změřil ten keramický kondenzátor a ukázal 179 pF místo 220, tedy o 19 % vedle.

Modré diskové kondenzátory na vysoké napětí bývají z materiálu třídy Y5V nebo Z5U: tolerance klidně −20 až +80 %, výrazná závislost na teplotě a ještě větší na napětí. Na vazbu nebo blokování jsou v pořádku, na měření naprosto nevhodné. Slída je pravý opak: teplotní koeficient kolem 50 ppm/°C, prakticky žádné stárnutí, žádná závislost na napětí. Z moderních součástek se na etalon hodí keramika C0G/NP0.

Přesnost stupnice je tedy přesně tolerance etalonu: s 62 pF ±2 % to byla ±2 %, se slídou 139 pF ±1 % je to ±1 %. Zlepšit se to dá jedině lepším etalonem, žádná úprava obvodu ani softwaru na tom nic nezmění.

Proč drift oscilátoru nevadí

Oscilátor driftuje o stovky hertzů a na displeji to vypadá hrozně. Přepočteno na kapacitu je to ale setina procenta. Kapacita závisí na převrácené druhé mocnině frekvence, citlivost je proto

dCx/df = −2 / (a · f³)

Ve jmenovateli je frekvence ve třetí mocnině, takže čím výš se měří, tím méně drift vadí. Pro drift 300 Hz:

Měřená kapacita	Frekvence	Vliv driftu 300 Hz
0 pF	35,6 MHz	0,0001 pF
220 pF	6,76 MHz	0,02 pF
1150 pF	3,0 MHz	0,23 pF

Rozlišení čítače s bránou 1 s je jednotky hertzů (tady 2 Hz, protože se vstup před čítáním dělí dvěma), na 36 MHz tedy 0,06 ppm. Seřazeno od největšího vlivu k nejmenšímu:

1. Tolerance etalonu, dominuje všemu ostatnímu
2. Mechanická stabilita přípravku, setiny až desetiny pF
3. Drift oscilátoru, setiny pF
4. Rozlišení čítače, zanedbatelné

Praktický důsledek: porovnávání dvou kondenzátorů mezi sebou je podstatně přesnější než odečet absolutní hodnoty. Třídění součástek do párů, třeba právě pro krystalový filtr, zvládne přístroj řádově lépe, než napovídá jeho stupnice.

Nulování a měřicí přípravek

Směrnice a závisí jen na cívce, posunutí b jen na parazitní kapacitě. Pokud se cívky netkneme, zůstává směrnice platná navždy a nulovací tlačítko přepočítá jen posunutí z aktuální frekvence naprázdno:

b = 1 / f₀²

Referenční kondenzátor se při tom vůbec nepotřebuje. Nuluje se tlačítkem, a ne automaticky po zapnutí, protože oscilátor je zastudena jinde než po ustálení. Správně je nechat přístroj běžet, počkat, až frekvence přestane ujíždět jedním směrem, a teprve pak stisknout.

Kontakty přípravku na SMD přidávají vlastní kapacitu, která se přičte k C₀. Nulovat se proto musí s prázdným přípravkem, jinak by se jeho kapacita přičetla ke každému měření. Rozlišení tím netrpí: i při C₀ kolem 20 pF posune jeden pikofarad frekvenci zhruba o 480 kHz. Začne se ale projevovat mechanická stabilita. Změna o 0,01 pF znamená posun o několik kilohertzů, takže zakývání kontaktu nebo přiblížení prstu je vidět. Kontakty proto patří dělat tuhé a krátké a přívody co nejkratší. Vůle v mechanice bude nakonec větší chyba než tolerance etalonu.